Линейный функционал ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } \in l_{\infty }^{*}}$ называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) ${\displaystyle B(\mathbf {1} )=1}$

2) ${\displaystyle B\geq 0}$ для любых ${\displaystyle x\geq 0}$

3) ${\displaystyle B(Tx)=B(x)}$ для любого ${\displaystyle x\in l_{\infty }}$ , где ${\displaystyle T}$ — оператор сдвига, действующий следующим образом: ${\displaystyle T(x_{1},x_{2},x_{3},...)=(x_{2},x_{3},...)}$

Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом. Из определения следует, что ${\displaystyle \|B\|_{l_{\infty }^{*}}=1}$ и ${\displaystyle B(x_{1},x_{2},...)=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$, если последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ сходится. Множество банаховых пределов обозначается как ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства ${\displaystyle l_{\infty }^{*}}$. Из неравенства треугольника следует, что для любых ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}}$ справедливо неравенство ${\displaystyle \|B_{1}-B_{2}\|\leq 2}$. Если ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ являются крайними точками множества ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, то ${\displaystyle \|B_{1}-B_{2}\|=2}$.